+ نوشته شده در  جمعه هجدهم آذر 1390ساعت 10:47  توسط محمدصمصامی،امیر رضایی،رضا صداقت  | 


در كتاب رياضي سوم راهنمايي براي محاسبه جذر يك عدد ،روشي مطرح شده كه: بر خلاف روش مطرح شده در پايه دوم راهنمايي كه علي رغم تقريبي بودن با دليل و برهان عنوان مي شود ،حتي در راهنماي تدريس پايه سوم هم دليلي براي روش گفته شده بيان نمي شود و اين در حالي است كه در پايه سوم روش دقيقي را براي محاسبه جذر اعداد اعمال مي كنبم.
در اين قسمت سعي مي شود با دقت در روش جذر گرفتن پايه سوم راهنمايي دليل آن را بيابيم و حتي با همان ديدگاه، نحوه محاسبه ريشه هاي سوم ،چهارم و . . . را نيز بیان کنیم.

برای آغاز بحث جذر عدد 2231 را با تقريب كم تر از "يك" بدست می آوريم.

الف) از سمت راست دو رقم دو رقم جدا مي كنيم.

به اين ترتيب عدد 2231 در دو جزء ديده مي شود و همين جا مي توانيم تشخيص دهيم كه جواب جذر 2231 دو رقمي است.

بنابراين وقتي جذر تقريبي 22 را 4 در نظر مي گيريم در واقع جذر تقريبي 2200 را با تقريب كم تر از 10 و به روش قطع كردن 40 حدس زده ايم.

بنابراين :

   

ب) در مرحله بعد جواب بدست آمده"4" را در 2 ضرب مي كنيم"8" و بزرگترين عددي كه مي توانست در قرار بگيرد تا حاصل × 8 بيش تر از 631 نباشد را پيدا مي كرديم.

بنابراين معادل همين كار را در سمت چپ انجام دهيم.

يعني در واقع ما عدد 40 را دو برابر مي كنيم و بزرگترين عددي كه مي تواند به عدد80 اضافه شود تا حاصل ×( +80 ) بيش تر از 631 نباشد را پيدا مي كنيم


   

   

و سرانجام با صرف نظر از رقم يكان عدد 631 و تقسيم آن بر 8 عدد داخل  را حدس مي زديم. لذا: درواقع جزء صحيح تقسيم 631 بر 80 را به عنوان رقم يكان پاسخ جذرمان پيشنهاد مي كنيم.

در نتيجه داريم:

   

 بنابراين پاسخ جذر با تقريب كم تر از :يك" 47=7+40 مي باشد.

اما بياييد دقت كنيم با عدد مورد نظرمان "2231" چه كرديم؟

اولا: 1600 يا 402 را از 2231 كم كرديم .

ثانيا: 7×(7+80) يا 7×(7+40×2) را نيز از 2231 كم كرديم

به عبارتي ديگر ما در مجموع 7×(7+40×2)+402 يا 

  72+(7×40)2+402  

را از 2231 كم كرده ايم ومجموع 40و 7 جواب جذر و عدد 22 هم باقي ماند

از طرفي 72+(7×40)2+402بسط 2(7+40) مي باشد

به عبارت ديگر در جذر گرفتن: بسط دوجمله ایa+b)2=a2+2ab+b2 ) به صورت a2+(2a+b)b مورد استفاده قرار مي گيرد.

بنابر آنچه گذشت: روش مطرح شده در رياضي سوم راهنمايي براي محاسبه يك جذر جلوه اي خيره كننده از انسجام و اختصار مربع هاي دو جمله اي نهفته است.  

براي مثال وقتي جواب يك جذر 141 مي باشد،در فرايند جذر مربع 141 اينگونه از عددي كه جذز گرفته مي شود كم مي شود:

2[1+(40+100)]=1412

12+1(140)2+2(40+100)=

12+1(140)2+402+40(100)2+1002=

1(1+280)+40(40+200)+1002=

درنتيجه: 1(1+280)+40(40+200)+1002=1412

يعني: در محاسبه جذر عددي كه پاسخ جذر آن 141 مي باشد ابتدا، حاصل 1002 سپش حاصل 40(40+200) و بعد حاصل 1(1+280) از آن كم مي شود و باقيمانده به جا مي ماند

حال مي خواهيم با استفاده از رابطه a+b)2=a2+(2a+b)b ) ريشه دوم عدد 20000 را با تقريب كم تر از يك بدست آوريم



وقتي از سمت راست دو رقم دو رقم جدا مي كنيم عدد 20000 در سه جزء ديده مي شود پس حاصل جذر سه رقمي است و اولين عدد جواب در ارزش مكاني صدگان مي نشيند.



100 را دو برابر مي كنيم 200=(100)2=2a

و سعي مي كنيم مقدار b را در 2a+b)b) حدس بزنيم.



 



البته: به اين نكته دقت مي كنيم كه عدد درون با ارزش مكاني دهگان ظاهر خواهد شد. 



بنابراين: تا اينجا جواب 140 را بدست آورده ايم و باز همين طور ادامه مي دهيم

280=(140)2=2a

و بار ديگر مي خواهيم مقدار b را در 2a+b)b) پيدا كنيم.



عددي بعدي با ارزش يكان ظاهر خواهد شد پس داريم:



بنابراين جواب جذر 141 و باقيمانده 119 است.

............................تعميم...........................

براي ريشه سوم و ريشه چهارم و . . . نيز مي توان چنين فرايندي را طي كرد

a+b)3 = a3+3a2b+3ab2+b3 = a3+(3a2+3ab+b2)b)

a+b)4 = a4+4a3b+6a2b2+3ab3+b4 = a4+(4a3+6a2b+3ab2+b3)b)

و . . . 

مثال:ريشه سوم عدد 187643 را تا يك رقم اعشار بدست مي آوريم.

رابطه مد نظر ما: a3+(3a2+3ab+b2)b



چون مي خواهيم جواب تا يك رقم اعشار بدست آيد بايد (1×3) سه رقم اعشار داشته باشيم و براي رشه سوم سه رقم سه رقم جدا مي كنيم.

پس جواب ما دورقمي و داراي يك رقم اعشار خواهد بود "دهم/يكان ، دهگان"

ريشه سوم 187 بيش تر از 5 و كم تر از 6 است. البته 5 در ارزش مكاني دهگان خواهد نشست پس:



حال با توجه به a3+(3a2+3ab+b2)b مقادير 3a2 و 3a را محاسبه مي كنيم .۵۰=a



و سعي داريم: مقدار b را در 3a2+3ab+b2)b) با ارزش مكاني يكان پيدا كنيم لذا:



در اين مرحله حدس زدن عدد بعدي راحت به نظر نمي رسد و بايد گزينه هايي را امتحان كرد.

ابتدا عدد 5 را قرار مي دهيم داريم:

41375=5(52+5×150+7500) 

كه 41375 از 62643 كم تر است پس با 8 امتحان مي كنيم

70112=8(82+8×150+7500) 

و اين جواب از 62643 بيشتر است در نتيجه 8 مناسب نيست و عدد 7 را قرار مي دهيم.

60193=7(72+7×150+7500)

و 60193 از 62643 كم تر است لذا 7 عدد صحيح است.

بنابراين:



براي پيشروي در محاسبه بار ديگر مقادير 3a2 و 3a را محاسبه مي كنيم

البته تا اينجا جواب 57 را بدست آورده ايم پس a را 57 در نظر مي گيريم.



و بايستي عدد جديد را با ارزش مكاني دهم حدس بزنيم

 



بنابراين ريشه سوم 187643 تا يك روش اعشار 2/57 مي باشد و باقيمانده نيز 752/493 مي باشد.

در ضمن با رسم شكل نيز مي توان براي نحوه محاسبه ريشه دوم و ريشه سوم اعداد به همين روش كه به كمك عبارات جبري بيان شد دست يافت.

 مناسب است به اين نكته نيز اشاره كنم كه:اگر جذر عددي مانند A را a محاسبه كرده باشیم. " اگر a عددی اعشاری باشد از ممیز آن برای این بخش از امتحان جذر صرف نظر می شود" در این صورت باقيمانده اين جذر بايد كم تر از 2a+1 باشد زيرا:  

a+1)2=a2+2a+1 ) بنابراين:

  a+1)2-a2=2a+1)

و يا: در محاسبه ريشه سوم باقيمانده بايد از باقيمانده a+1)3-a3 ) كم تر باشد 

پس در محاسبه ريشه سوم باقيمانده : بايد از مجموع (سه برابر مربع جواب بدست آمده با سه برابر جواب بدست آمده و عدد يك ) كم تر باشد  

استفاده از مطالب این وبلاگ با ذکر منبع بلا مانع است.  

+ نوشته شده در  دوشنبه بیست و سوم آبان 1390ساعت 20:20  توسط محمدصمصامی،امیر رضایی،رضا صداقت  | 
اعداد صحیح به مجموعهٔ اعداد طبیعی مثبت، اعداد طبیعی منفی، و عدد صفر گفته می‌شود. در ریاضیّات، معمولاً این مجموعه را با Z یا (ابتدای کلمه آلمانی Zahlen به معنی اعداد) نشان می‌دهند. همانند مجموعهٔ اعداد طبیعی، مجموعهٔ اعداد صحیح نیز یک مجموعهٔ شمارای نامتناهی‌ست.
شاخه‌ای‌ از ریاضیّات که به مطالعهٔ اعداد صحیح می‌پردازد، نظریهٔ اعداد نام دارد.


خواص جبری
همانند اعداد طبیعی، Z نیز نسبت به دو عمل جمع و ضرب بسته است. این بدان معناست که حاصل جمع و حاصل ضرب دو عدد صحیح، خود، یک عدد صحیح است. بر خلاف مجموعهٔ اعداد طبیعی، از آنجا که اعداد صحيح منفی، و به ویژه، عدد صفر هم به Z تعلق دارند، این مجموعه، نسبت به عمل تفریق نیز بسته است. اما Z تحت عمل تقسیم بسته نیست، زیرا خارج قسمت تقسیم دو عدد صحیح، لزوما عددی صحیح نخواهد بود.

برخی از خواصّ اساسی مربوط به عملیّات جمع و ضرب در جدول زیر گنجانیده شده است (در اینجا b ،a، و c اعداد صحیح دل‌خواه هستند

جمع ضرب 
بسته بودن: a + b یک عدد صحیح است a × b یک عدد صحیح است 
شرکت پذیری: a + (b + c) = (a + b) + c a × (b × c) = (a × b) × c 
تعویض پذیری: a + b = b + a a × b = b × a 
وجود یک عنصر واحد: a + 0 = a a × 1 = a 
وجود یک عنصر عکس: a + (−a) = 0 
توزیع پذیری: a × (b + c) = (a × b) + (a × c) 
نداشتن مقسوم علیه‌های صفر: اگر ab = 0، آنگاه a = 0 یا b = 0 

مطابق بالا، خواصّ بسته بودن، شرکت پذیری و جابه جایی (یا تعویض پذیری) نسبت به هر دو عمل ضرب و جمع، وجود عضو همانی (واحد، یا یکّه) نسبت به جمع و ضرب، وجود عضو معکوس فقط نسبت به عمل جمع، و خاصیّت توزیع پذیری ضرب نسبت به جمع از اهمیت برخوردارند.


در مبحث جبر مجرد، پنج خاصیّت اوّل در مورد جمع، نشان می‌دهد که مجموعهٔ Z به همراه عمل جمع یک گروه آبلی است. امّا، از آن جا که نسبتZ به ضرب عضو وارون (یا معکوس) ندارد، مجموعهٔ اعداد صحیح، به همراه عمل ضرب، گروه نمی‌سازد.


مجموعهٔ ویژگیهای ذکر شده حاکی از این است که ، به همراه عملیّات ضرب و جمع، یک حلقه است، امّا، به دلیل نداشتن وارون ضربی، میدان نیست. مجموعهٔ اعداد گویا را باید کوچک‌ترین میدانی دانست که اعداد صحیح را در بر می‌گیرد.

اگرچه تقسیم معمولی در اعداد صحیح تعریف شده نیست، خاصیّت مهمّی در مورد تقسیم وجود دارد که به الگوریتم تقسیم مشهور است. یعنی به ازاء هر دو عدد صحیح و دل‌خواه a و b) b مخالف صفر)، q و r منحصر به فردی متعلق به مجموعه اعداد صحیح وجود دارد، به طوریکه: a = q.b + r که در این جا، q خارج قسمت و r باقیمانده تقسیم a بر b است. این کار اساس الگوریتم اقلیدس برای محاسبه بزرگ‌ترین مقسوم علیه مشترک را تشکیل می‌دهد.

همچنین در جبر مجرد، بر اساس خواصی که در بالا ذکر شد، یک دامنه اقلیدسی است و در نتیجه دامنه ایده‌آل اصلی می‌باشد و هر عدد طبیعی بزرگ‌تر از یک را می‌توان به طور یکتا به حاصل‌ضرب اعداد اوّل تجزیه کرد (قضیه اساسی علم حساب.) 
      

+ نوشته شده در  دوشنبه بیست و سوم آبان 1390ساعت 20:16  توسط محمدصمصامی،امیر رضایی،رضا صداقت  | 
+ نوشته شده در  دوشنبه شانزدهم آبان 1390ساعت 13:35  توسط محمدصمصامی،امیر رضایی،رضا صداقت  | 
+ نوشته شده در  یکشنبه پانزدهم آبان 1390ساعت 17:32  توسط محمدصمصامی،امیر رضایی،رضا صداقت  | 
دکتر Nowak آلمانی توسط کامپیوتر شخصی خود که پنتیوم ۴ با قابلیت ۲.۴GH میباشد ،بزرگترین عدد اول را کشف کرد . این عدد از فرمول اعداد اول مرسن بدست آمده که طبق فرمول مرسن n=۲۵۹۶۴۹۵۱ میباشد.
یعنی برای بدست آوردن عدد اول مزبور ۲ را بتوان n میرسانیم و از آن یک واحد کم میکنیم.
+ نوشته شده در  پنجشنبه چهاردهم مهر 1390ساعت 10:51  توسط محمدصمصامی،امیر رضایی،رضا صداقت  | 
ابتکار گوس
در رياضيات آنچه كه مهم است فكر كردن، استدلال كردن و نتيجه گرفتن است . رياضيات راهي براي انديشيدن و روشي براي استدلال و درست فكركردن است . استدلال وسيلهاي است كه به كمك آن ميتوان از روي اطلاعاتي كه داريم حقايقي را كشف كنيم . البته رياضيات به تجربه و مشاهده نيز مربوط مي شود ولي قسمت اعظم آن همان انديشيدن، استدلال كردن و نتيجه گرفتن است. گوس رياضي دان آلماني ده ساله بود. روزي معلم از دانش آموزان كلاس خواست كه مداد و كاغذ بردارند و حاصل جمع اعداد 100 تا1 را به دست آورند. دو دقيقه نگذشته بود كه معلم گوس را ديد كه به كار ديگري مشغول است از او پرسيد : چرا مسأله را حل نمي كني؟ او جواب داد: تمام شد. معلم با ناراحتي گفت: اين غير ممكن است ولي كوس گفت: خيلي هم آسان بود

اول چنين نوشتم : 100+99+98+97+...+3+2+1

و بعد چنين: 1+2+3+...+96+97+98+99+100

و جفت جفت از اول با آخر جمع كردم :

101+101+101+...+101+101+101+101 بدين ترتيب 50 تا عدد 101 به دست آوردم كه حاصل جمع آنها

ميشود 5050=101?50 پس حاصل جمع اعداد 1 تا100

ميشود 5050
پلهاي کونيسبرگ

در اين شکل از يک نقطه شروع کرده از روي همه ي خطها (پلها) فقط يک بار رد شده و به نقطه اوليه باز گرديد.

اويلر رياضيدان مشهور ثابت کرده است که اين کار امکان پذير نيست.او نشان داد که عبور از خطها مانند مساله يافتن دوري است که از يک نقطه شروع و تمام خطها را فقط يک بار طي کرده و به نقطه شروع برسيم.اگر چنين دوري پيدا شود بايد در طول مسير به هر نقطه اي که ميرسيم دو خط (يال)به ان نقطه برسد; يک راه ورودي و يک راه خروجي.البته بجز دو نقطه , يعني نقطه اي که مسير شروع ميشود و ديگر وقتي که مسير به پايان ميرسد , تعداد خطهايي (يالهايي)که از يک نقطه (راس)منشعب ميشود , بايد عددي زوج باشد.در صورتي که در مورد پلهاي کونيسبرگ اين امکان وجود نداشت; چون نقاط (راسهاي) A , B , C , D با تعداد خطهاي (يالهاي)فرد به نقاط (راسهاي)ديگر وضل ميشد.هم اکنون مساله پلها با قرار دادن خط هشتم(پل هشتم)حل شده است.ايا شما ميتوانيد با قرار دادن يک خط اين مساله را حل کنيد؟؟؟
پارادوکس حرکت !!

يک روز زنون از اهالي الئا يکي از فلاسفه بزرک يونان که شيفته پارادوکسها بود اعلام کرد ( حرکت غير ممکن است. )) او استدلال کرد براي به هدف رسيدن يک پيکان, ان پيکان ابتدا بايد نصف مسافت را طي کند, سپس نصف مسافت باقيمانده را به همين صورت تا اخر;به طوري که به نظر ميرسد پيکان هرگز به هدف نخواهد رسيد(قضيه limit ).اما در واقع از انجا که مسافتها کوچکتر پي در پي کوتاهتر ميرسد به اين نتيجه ميرسيم که پيکان به هدف خواهد رسيد.
قضيه اخر فرما
شانس

در حالت کلي وقتي يک پديده اي به شکل تصادفي رخ نيدهد احتمال به وقوع پيوستن پيشامد خاصي از اين پديده قابل محاسبه است.براي به دست اوردن احتمال کافي است تعداد حالتهاي مطلوب براي به وقوع پيوستن ان پيشامد خاص را بر تعداد کل حالتهاي ممکن تقسيم کنيم .به طور مثال وقتي از بين کارتهاي ? تا ?? کارتي تصادفي بر ميداريم احتمال ان که عدد اول را بر داشته باشيم برابر است با چهار دهم زيرا کل حالتها ?? و تعداد حالتهاي مطلوب (اعداد اول بين ? تا ?? )? است.

دنباله فيبوناچي

قضيه اويلر

سريهاي جالب

دستگاه شمارش دودويي

1+1=10

دستگاه شمارش دوديي را لايب نيتز رياضي دان الماني کشف کرده است.رايانه ها طوري طراحي شده اند که براي محاسبه از اين دستگاه شمارش استفاده کنند و محاسبه هاي پيچيده انجام دهند.

دودويي

دهدهي

دودويي

دهدهي

1000

8

0

0

1001

9

1

1

1010

10

10

2

1011

11

11

3

1100

12

100

4

1101

13

101

5

1110

14

110

6

1111

15

111

7

5+6=11

101

110+

1011

13+9=22

1101

1001+

10110

هر عدد در مبناي دودويي را ميتوان به اين صورت در مبناي دهدهي نمايش داد:

20*1+ 21*0+ 22*0+ 23*0 + 24*1+ 25*1= 2(110001)

49 = 1+0+0+0+16+32=

+ نوشته شده در  پنجشنبه چهاردهم مهر 1390ساعت 10:50  توسط محمدصمصامی،امیر رضایی،رضا صداقت  | 
چه اعدادی بر هفت بخشپذير است؟ 

آیا تا به حال به این سوال فکر کرده اید؟ حتماً هر وقت به آن فکر کرده اید بی نتیجه مانده اید و از فکرش آمده اید بیرون. آیا تا به حال در کتابی یا در جایی دیگر جواب این سوال را دیده اید؟ من توانسته ام جوابی برای این سوال پیدا کرده ام. البته جواب من فقط برای اعداد 3 و 4 رقمی جواب میدهد. اعداد 3 رقمی: «مثلاً در مورد عدد 532 . ابتدا رقم صدگان یعنی 5 را در 2 ضرب میکنیم. سپس حاصچه اعدادی بر هفت بخشپذير است؟ آیا تا به حال به این سوال فکر کرده اید؟ حتماً هر وقت به آن فکر کرده اید بی نتیجه مانده اید و از فکرش آمده اید بیرون. آیا تا به حال در کتابی یا در جایی دیگر جواب این سوال را دیده اید؟ من توانسته ام جوابی برای این سوال پیدا کرده ام. البته جواب من فقط برای اعداد 3 و 4 رقمی جواب میدهد. اعداد 3 رقمی: «مثلاً در مورد عدد 532 . ابتدا رقم صدگان یعنی 5 را در 2 ضرب میکنیم. سپس حاصل را با 32 جمع میکنیم (32+(5*2)). اگر حاصل (42) بر 7 بخشپذیر بود، آن عدد 

(532) هم بر 7 بخشپذیر است.» 76=7÷532 اعداد 4 رقمی: «در مورد عدد 5628 . ابتدا رقم هزارگان را منهای 2 برابر رقم صدگان میکنیم. حاصل را با 28 جمع میکنیم (28+(5- (6*2)) . اگر حاصل بر 7 بخشپذیر بود، ،آن عدد (5628) هم بر 7 بخشپذیر است.» 804=7÷5928 ل را با 32 جمع میکنیم 

(32+(5*2)). اگر حاصل (42) بر 7 بخشپذیر بود، آن عدد (532) هم بر 7 بخشپذیر است.» 76=7÷532 اعداد 4 رقمی: «در مورد عدد 5628 . ابتدا رقم هزارگان را منهای 2 برابر رقم صدگان میکنیم. حاصل را با 28 جمع میکنیم (28+(5- (6*2)) . اگر حاصل بر 7 بخشپذیر بود، ،آن عدد (5628) هم بر 7 بخشپذیر است.» 804=7÷5928

+ نوشته شده در  پنجشنبه چهاردهم مهر 1390ساعت 10:49  توسط محمدصمصامی،امیر رضایی،رضا صداقت  | 
هیچکدام از این کاربردها تاریخچه پیدایش واضحی ندارند. در دوره اولیه تاریخ کاربرد اعداد بیشتر بطور واقعی بوده تا عصر حاضر که اعداد مفهوم انتزاعی دارند. بطور مثال مردم دوران باستان اعداد را برای شمارش تعداد اسبان، ... بکار می برند و در اینگونه مسائل هیچگاه به مسئله ای برخورد نمی کردند که جواب آن صفر یا اعداد منفی باشد. 
بابلیها تا مدتها در جدول ارزش مکانی هیچ نمادی را برای جای خالی در جدول بکار نمی بردند. می توان گفت از اولین نمادی که آنها برای نشان دادن جای خالی استفاده کردن گیومه (") بود. مثلاً عدد6"21 نمایش دهنده 2106 بود. البته باید در نظر داشت که از علائم دیگری نیز برای نشان دادن جای خالی استفاده می شد ولیکن هیچگاه این علائم به عنوان آخرین رقم آورده نمی شدندبلکه همیشه بین دو عدد قرار می گیرند بطور مثال عدد "216 را با این نحوه علامت گذاری نداریم. به این ترتیب به این مطلب پی می بریم که کاربرد اولیه عدد صفر برای نشان دادن جای خالی اصلاً به عنوان یک عدد نبوده است. 

البته یونانیان هم خود را از اولین کسانی می دانند کهدرجای خالی ,صفر استفاده می کردند اما یونانیان دستگاه اعداد (جدول ارزش مکانی اعداد) مثل بابلیان نداشتند. اساساً دستاوردهای یونانیان در زمینه ریاضی بر مبنای هندسه بوده و به عبارت دیگر نیازی نبوده است که ریاضی دانان یونانی از اعداد نام ببرند زیر آنها اعداد را بعنوان طول خط مورد استفاده قرار می دادند. 

البته بعضى ازریاضی دانان یونانی ثبت اطلاعات نجومی را بر عهده داشتند. در این قسمت به اولین کاربرد علامتی اشاره می کنیم که امروزه آن را به این دلیل که ستاره شناسان یونانی برای اولین بار علامت 0 را برای آن اتخاذ کردند، عدد صفر می نامیم. تعداد معدودی از ستاره شناسان این علامت را بکار بردند و قبل از اینکه سرانجام عدد صفر جای خود را بدست آورد، دیگر مورد استفاده قرار نگرفت و سپس در ریاضیات هند ظاهر شد. 

هندیان کسانی بودند که پیشرفت چشمگیری در اعداد و جدول ارزش مکانی اعداد ایجاد کردند هندیان نیز از صفر برای نشان دادن جای خالی در جدول استفاده می کردند. 

اکنون اولین حضور صفر را به عنوان یک عدد مورد بررسی قرار می دهیم اولین نکته ای که می توان به آن اشاره کرد این است که صفر به هیچ وجه نشان دهنده یک عدد بطور معمول نمی باشد. از زمانهای پیش اعداد به مجموعه ای از اشیاء نسبت داده می شدند و در حقیقت با گذشت زمان مفهوم صفر و اعداد منفی که از ویژگیهای مجموعه اشیاء نتیجه نمی شدند، ممکن شد. هنگامیکه فردی تلاش می کند تا صفر و اعداد منفی را بعنوان عدد در نظر بگیرید با این مشکل مواجه می شود که این عدد چگونه در عملیات محاسباتی جمع، تفریق، ضرب و تقسیم عمل می کند. ریاضی دانان هندی سعی بر آن داشتند تا به این سئوالها پاسخ دهندو در این زمینه نیز تا حدودى موفق بوده اند . 

این نکته نیز قابل ذکر است که تمدن مایاها که در آمریکای مرکزی زندگی می کردند نیز از دستگاه اعداد استفاده می کردند و برای نشان دادن جای خالی صفر را بکار می برند. 

بعدها نظریات ریاضی دانان هندی علاوه بر غرب، به ریاضی دانان اسلامی و عربی نیز انتقال یافت. فیبوناچی، مهمترین رابط بین دستگاه اعداد هندی و عربی و ریاضیات اروپا می باشد.

+ نوشته شده در  پنجشنبه چهاردهم مهر 1390ساعت 10:8  توسط محمدصمصامی،امیر رضایی،رضا صداقت  | 
سيستم دوجيني يا دوازده‌تايي : ما آنچنان به شمارش در سيستم دهدهي عادت كرده‌ايم كه وقتي مي خواهيم از سيستم اعداد متفاوتي استفاده كنيم ، كاملا مشكل است كه بسياري از عادت‌هاي فكر كردن را ناديده بگيريم . براي اينكه بعضي از اين اشكالات تذكر داده شوند ، ما در باره سيستم دوجيني يا دوازده‌تايي بحث می‌كنيم . در اين سيستم علامتهاي زير را به عنوان نشانه‌هاي اساسي به كار می‌بريم . 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 ,7 , 8 , 9 , D , E حرف D به جاي عدد دهدهي 10 و حرف E به‌جاي عدد دهدهي 11 می‌باشد . گيريم براي جلوگيري از اشتباه كردن آنها را با نامهاي دهدهي dec و el بناميم . عدد بعد از el يك دوجين است كه در اين طرز نمايش به صورت 10 نوشته خواهد شد . عدد بعدي ، كه همان عدد سيزده دهدهي است ، به صورت 11 نوشته می‌شود . از برخي لحاظ بهتر بود كه به‌جاي علامت‌هاي 1 تا 9 نيز نشانه‌هاي كاملا جديدي براي علامتهاي اساسي سيستم دوجيني انتخاب می‌گرديد . زيرا كاربرد علامتهاي دهدهي قواعد دهدهي را پيشنهاد می‌كنند كه در سيستم دوجيني صادق نيستند . براي مثال ، به‌جاي قاعده جمع دهدهي شش به اضافه پنج مساوي يازده ، بايد شش به اضافه پنج مساوي el قرار گيرد . 6+5=(يازده دهدهي)=E قاعده دهدهي شش به اضافه هفت مساوي سيزده ، بايد بوسيله شش به اضافه هفت مساوي يك دوجين و يك تعويض گردد ، يا 6+7=11دوجيني پس بايد دقت شود كه دوباره به طرز تفكر قواعد دهدهي برنگرديم . براي علامت‌هاي اساسي حساب دوجيني يك جدول جمع جديد همچنين يك جدول ضرب جديد بايد آموخته شود . براي مثال پنج ضربدر هشت مساوي چهل دهدهي يا سه دوجين و چهار است ، يا 5*8=40=3*12+4=34دوجيني براي نوشتن اعداد دوجيني به هر اندازه ، سيستم « ارزش محل » را به كار می‌بريم ، يعني براي تعيين مقدار هر رقم محل آنرا نسبت به مميز دوجيني ( نه مميز دهدهي ) در نظر مي‌گيريم ، هر محل سمت راست يا سمت چپ مميز دوجيني از لحاظ مقدار از محل مجاور خود به اندازه يك ضريب دوجين متفاوت مي باشد . به طور مثال : 171دهدهي=3+24+144=3+(12*2)+(12*12*1)=123دوجيني 1.61805555555دهدهي=(12/12/5)+(12/7)+1=1.75دوجيني سيستم دوجيني از بعضي جهات راحت‌تر از سيستم دهدهي است . راحتي فوق اصولا از اين حقيقت ناشي مي شود كه تعداد مقسوم عليه‌هاي دوازده از تعداد مقسوم عليه‌هاي ده بيشتر ميباشد . دوازده بر يك ، دو ، سه ، چهار ، شش و دوازده بخش‌پذير است . بنابراين بسياري از محاسبات دستي در سيستم دوجيني تا حدودي ساده‌تر از سيستم دهدهي هستند ، بعضي از كسرهاي معمولي كه در مبناي دهدهي به صورت عددهاي كسري متناوب در می‌آيند در مبناي دوجيني چنين نيستند . براي نمونه كسر 3/1 كه همان 12/4 ميباشد در مبناي دوجيني به صورت 0.4 است . بعضي از كسرهاي ساده در مبناي دوجيني به صورت زير مي باشند . دوجيني 0.2 = دهدهي 12/2=6/1 دوجيني 0.3 = دهدهي 12/3=4/1 دوجيني 0.4 = دهدهي 12/4=3/1 دوجيني 0.6 = دهدهي 12/6=2/1 با وجود راحتي ، مبناي دوجيني احتمالا هرگز براي محاسبات دستي پذيرفته نخواهد شد . ولي لازم است بدانيم ، كه سيستم شمارش در عالم و هستي ما بر پايه مبناي دوجيني يا دوازده‌تايي استوار گرديده است كه در مباحث بعدي به اين موضوع بسيار مهم خواهيم پرداخت . در واقع مبناي شمارش اعداد در رياضيات مختص فيزيك نيز ، سيستم دوازده‌تايي يا همان سيستم شمارش دوجيني در نظر گرفته ميشود . اگر عدد مذکور را در دو ضرب کنیم، حاصل: 285714 میشود!-به ارزش مکانی 14 توجه کنید. اگر این عدد را در سه ضرب کنیم حاصل: 428571 میشود!-به ارزش مکانی 1 توجه کنید. اگر این عدد را در چهار ضرب کنیم حاصل: 571428 میشود!-به ارزش مکانی 57 توجه کنید. اگر این عدد را در پنج ضرب کنیم حاصل: 714285 میشود!-به ارزش مکانی 7 توجه کنید. اگر این عدد را در شش ضرب کنیم حاصل: 857142 میشود!-سه رقم اول با سه رقم دوم جا بجا شده. اگر این عدد را در هفت ضرب کنیم حاصل: 999999 میشود. این عدد به تازگی کشف نشده! بلکه هزاران ساله که به عنوان یه عدد جالب مورد توجه بوده. 142857 در واقع دوره گردش عدد 1/7 هست و خاصیتهای جالب دیگه ای هم داره. همونطور که میبینید، مضارب این عدد همه یا 142857 (با گردش حلقوی) هستند یا 999999 . جالب اینجاست که برای اعداد بزرگتر هم این روند به صورت دیگه ای ادامه داره مثلا 8*142857 میشه 1.142.856، حالا اگه رقم اول رو با 6 رقم بعد جمع کنید حاصل میشه: 142.857 و مثلا 42*142857 میشه 5.999.994، حالا اگه رقم اول رو با 6 رقم بعد جمع کنید حاصل میشه: 999.999 و 142857*142857 میشه 20.408.122.499، حالا اگه 5 رقم اول رو 6 رقم بعد جمع کنید حاصل میشه: 142.857 همونطور که میبینید، مضارب این عدد همه یا 142857 (با گردش حلقوی) هستند یا 999999 . جالب اینجاست که برای اعداد بزرگتر هم این روند به صورت دیگه ای ادامه دارد.
+ نوشته شده در  پنجشنبه چهاردهم مهر 1390ساعت 9:19  توسط محمدصمصامی،امیر رضایی،رضا صداقت  |